부록 D02: 함수와 그래프

5 분 소요

이 장에서 배울 것

이번 장에서는 함수와 그래프를 배웁니다. 함수는 수학에서 가장 자주 나오는 기본 언어입니다. 계산생물학에서도 함수는 계속 등장합니다. 어떤 입력을 넣으면 어떤 출력이 나오는지 설명하는 규칙이기 때문입니다.

핵심 용어를 먼저 정리하겠습니다.

함수(function): 입력을 받아 정해진 규칙에 따라 출력을 만드는 관계입니다.
입력(input): 함수에 넣는 값입니다.
출력(output): 함수가 내놓는 값입니다.
f(x): x를 입력으로 넣었을 때 함수 f가 내놓는 출력입니다.
정의역(domain): 입력으로 넣을 수 있는 값들의 범위입니다.
치역(range): 출력으로 나올 수 있는 값들의 범위입니다.
그래프(graph): 입력과 출력의 관계를 그림으로 나타낸 것입니다.
기울기(slope): 입력이 1만큼 변할 때 출력이 얼마나 변하는지 나타내는 값입니다.

함수와 그래프의 관계

가장 쉬운 비유: 자판기도 함수입니다

자판기에 1,000원을 넣고 물 버튼을 누르면 물이 나옵니다. 1,500원을 넣고 커피 버튼을 누르면 커피가 나옵니다. 자판기는 입력을 받아 출력으로 바꾸는 장치입니다.

함수도 비슷합니다. 어떤 값을 넣으면 정해진 규칙에 따라 다른 값을 내놓습니다.

입력 → 함수의 규칙 → 출력

예를 들어 다음 함수가 있다고 합시다.

f(x) = 2x + 1

x에 3을 넣으면 출력은 7입니다.

f(3) = 2 × 3 + 1 = 7

함수는 생물학적 관계를 표현할 수 있습니다

함수는 추상적인 수학 놀이가 아닙니다. 생물학에서도 관계를 표현할 때 함수가 필요합니다.

예를 들어 약물 농도와 세포 생존율 사이의 관계를 생각할 수 있습니다. 약물 농도가 높아질수록 세포 생존율이 낮아질 수 있습니다. 이때 약물 농도를 입력, 세포 생존율을 출력으로 볼 수 있습니다.

또 다른 예로 시간과 세균 수의 관계가 있습니다. 시간이 지날수록 세균 수가 늘어날 수 있습니다. 이때 시간은 입력이고 세균 수는 출력입니다.

함수는 이런 관계를 숫자로 다루게 해 줍니다.

선형함수: 일정하게 변하는 관계

선형함수는 가장 단순한 함수입니다. 대표적인 형태는 다음과 같습니다.

y = ax + b

여기서 x는 입력, y는 출력입니다. a는 기울기이고, b는 x가 0일 때의 시작값입니다.

예를 들어 다음 식을 보겠습니다.

y = 3x + 2

x가 0이면 y는 2입니다. x가 1이면 y는 5입니다. x가 2이면 y는 8입니다. x가 1 늘 때마다 y가 3씩 늘어납니다. 그래서 기울기는 3입니다.

선형함수는 직선 그래프로 나타납니다. 실제 생물학 관계가 항상 직선은 아니지만, 처음 관계를 이해할 때는 선형함수가 좋은 출발점입니다.

지수함수: 점점 더 빠르게 변하는 관계

지수함수는 일정한 양을 더하는 것이 아니라 일정한 배수로 늘어나는 관계를 나타냅니다.

예를 들어 세균이 한 시간마다 두 배가 된다고 합시다.

1 → 2 → 4 → 8 → 16

이것은 매번 1씩 더하는 증가가 아닙니다. 매번 2배가 되는 증가입니다. 이런 관계는 지수함수로 표현할 수 있습니다.

생물학에서는 세포 증식, 세균 성장, 바이러스 복제 초기에 지수적 증가가 나타날 수 있습니다. 물론 현실에서는 영양분 부족, 공간 제한, 면역 반응 때문에 무한히 증가하지는 않습니다.

로그함수: 큰 배수 차이를 읽기 쉽게 만드는 함수

로그함수는 지수함수와 반대 방향의 도구라고 생각할 수 있습니다. 매우 큰 차이를 압축해서 읽기 쉽게 만듭니다.

예를 들어 유전자 발현량이 1, 10, 100, 1000처럼 커질 때, 원래 숫자는 너무 크게 벌어집니다. 로그를 사용하면 이런 배수 차이를 더 안정적으로 볼 수 있습니다.

부록 D03에서 로그와 지수를 더 자세히 다룹니다. 여기서는 “지수는 빠른 증가를 표현하고, 로그는 큰 차이를 압축해서 읽게 해 준다” 정도만 잡으면 됩니다.

시그모이드 함수: S자 모양의 반응

시그모이드(sigmoid)는 S자 모양의 함수를 뜻합니다. 낮은 입력에서는 출력이 거의 변하지 않다가, 어느 구간에서 빠르게 변하고, 다시 높은 입력에서는 포화됩니다.

약물 반응이나 수용체 반응에서 이런 모양이 자주 나옵니다. 예를 들어 약물 농도가 너무 낮으면 효과가 거의 없다가, 어느 농도 이상에서 효과가 빠르게 커지고, 나중에는 더 올려도 효과가 크게 늘지 않을 수 있습니다.

입문 단계에서는 시그모이드의 공식을 외울 필요는 없습니다. “처음엔 완만하고, 중간에서 급격히 변하고, 마지막엔 다시 완만해지는 S자 관계”라고 이해하면 됩니다.

그래프는 관계를 눈으로 보는 방법입니다

표는 정확한 숫자를 보여 주지만, 관계의 모양을 한눈에 보기는 어렵습니다. 그래프는 입력과 출력의 관계를 시각적으로 보여 줍니다.

x축에는 보통 입력을 놓고, y축에는 출력을 놓습니다. 예를 들어 x축이 시간, y축이 세균 수라면 시간에 따라 세균 수가 어떻게 변하는지 볼 수 있습니다.

그래프에서 중요한 것은 숫자 하나가 아니라 패턴입니다. 증가하는지, 감소하는지, 직선에 가까운지, 곡선인지, 갑자기 변하는 구간이 있는지, 포화되는지 등을 봅니다.

계산 감각 1: 함수값 구하기

다음 함수가 있다고 합시다.

f(x) = 2x + 3

x = 4이면,

f(4) = 2 × 4 + 3 = 11

이처럼 함수값을 구한다는 것은 입력값을 식에 넣어 출력값을 계산한다는 뜻입니다.

계산 감각 2: 기울기 구하기

기울기는 출력 변화량을 입력 변화량으로 나눈 값입니다.

기울기 = 출력 변화량 / 입력 변화량

예를 들어 x가 2에서 5로 변할 때 y가 7에서 16으로 변했다면,

입력 변화량 = 5 - 2 = 3
출력 변화량 = 16 - 7 = 9
기울기 = 9 / 3 = 3

기울기가 3이라는 것은 x가 1 늘 때 y가 평균적으로 3 늘었다는 뜻입니다.

생물정보학에서 왜 함수와 그래프가 중요한가

생물 데이터 분석은 결국 관계를 찾는 일입니다. 유전자 발현량과 질병 위험의 관계, 약물 농도와 세포 생존율의 관계, 시간과 세포 수의 관계, 단백질 점수와 결합 가능성의 관계를 봅니다.

함수는 이런 관계를 수식으로 표현하고, 그래프는 그 관계를 눈으로 보여 줍니다. 그래서 계산생물학자는 함수를 계산할 줄 알아야 하고, 그래프를 읽을 줄 알아야 합니다.

보강: 그래프를 읽을 때 먼저 확인할 것

함수 그래프를 볼 때는 먼저 x축이 무엇인지, y축이 무엇인지, 값이 증가하는지 감소하는지를 확인해야 합니다. 예를 들어 x축이 약물 농도이고 y축이 세포 생존율이라면, 그래프가 아래로 내려갈수록 약물이 세포 생존을 낮춘다는 뜻입니다. 반대로 x축이 시간이고 y축이 세균 수라면 그래프가 위로 올라갈수록 세균이 늘고 있다는 뜻입니다.

계산 감각도 중요합니다. y = 3x + 2에서 x가 4이면 y는 3 × 4 + 2 = 14입니다. 또 x가 1에서 5로 늘 때 y가 5에서 17로 늘었다면 기울기는 (17 - 5) / (5 - 1) = 3입니다. 생물정보학에서는 이런 기울기가 “시간이 지날 때 발현량이 얼마나 빨리 변하는가” 같은 질문으로 바뀝니다.

시그모이드 그래프는 특히 약물 반응과 연결됩니다. 처음에는 반응이 거의 없다가, 어느 농도 구간에서 급격히 반응하고, 나중에는 더 늘려도 반응이 포화됩니다. 따라서 그래프의 모양은 단순한 그림이 아니라 생물학적 반응의 속도와 한계를 읽는 도구입니다.

보강 학습: 함수와 그래프를 데이터 표처럼 읽기

함수는 “입력 하나를 넣으면 출력 하나가 정해지는 규칙”입니다. 생물정보학에서는 시간 t에 따른 세포 수, 약물 농도 x에 따른 발현량 y, read 수에 따른 정규화 값처럼 입력과 출력의 관계를 자주 봅니다. 그래프는 이 관계를 눈으로 읽게 해 주는 도구입니다.

예를 들어 f(x) = 2x + 1이면 x가 0, 1, 2일 때 출력은 1, 3, 5입니다. 표로 쓰면 (0,1), (1,3), (2,5)이고, 그래프에서는 오른쪽으로 갈수록 위로 올라가는 직선이 됩니다. 기울기가 크면 입력 변화에 출력이 민감하게 반응한다는 뜻입니다.

비선형 함수도 중요합니다. 유전자 발현량이 약물 농도에 항상 직선처럼 반응하지는 않습니다. 낮은 농도에서는 변화가 작다가 어느 지점 이후 급격히 변하거나, 반대로 포화되어 더 이상 크게 늘지 않을 수 있습니다. 그래서 그래프를 볼 때는 “증가하느냐”뿐 아니라 “얼마나 빠르게 증가하느냐”, “어느 구간에서 변화가 큰가”를 같이 봐야 합니다.

흔한 오해는 x축과 y축의 뜻을 확인하지 않고 모양만 보는 것입니다. y축이 raw count인지 log 변환값인지, x축이 시간인지 농도인지에 따라 같은 그래프 모양도 의미가 달라집니다. 축, 단위, 스케일을 먼저 읽는 습관이 공식 문해력의 출발점입니다.

핵심 정리

함수는 입력을 받아 출력으로 바꾸는 규칙입니다. 선형함수는 일정하게 변하는 관계를 나타내고, 지수함수는 배수로 빠르게 변하는 관계를 나타냅니다. 로그함수는 큰 차이를 압축해서 읽기 쉽게 만들고, 시그모이드 함수는 S자 모양의 포화 반응을 표현합니다. 그래프는 입력과 출력의 관계를 눈으로 확인하게 해 주는 도구입니다.

Gemini AI 채점

주관식 답안은 Gemini API로 채점합니다. API 키는 이 브라우저에만 저장됩니다.

API KEY 미등록

1. [쉬움] 객관식

함수의 설명으로 가장 적절한 것은?

선택지 입력을 받아 정해진 규칙에 따라 출력을 만드는 관계이다. 숫자를 절대 바꾸지 않는 보관함이다. 항상 그림만 뜻하는 말이다. 입력과 출력의 관계가 아니라 생물학적 표지 이름만 뜻한다.
2. [쉬움] 객관식

f(x)에서 x는 보통 무엇을 뜻하는가?

선택지 출력값 입력값 오차값 그래프 제목
3. [보통] 객관식

선형함수 y = ax + b에서 a가 뜻하는 것은?

선택지 출력의 이름 정의역 전체 기울기 항상 0인 값
4. [보통] 객관식

그래프를 사용하는 이유로 가장 적절한 것은?

선택지 모든 통계 오류를 자동으로 없애기 위해서이다. 생물학 용어를 영어로 바꾸기 위해서이다. 파일 용량을 반드시 줄이기 위해서이다. 입력과 출력의 관계 모양을 눈으로 보기 위해서이다.
5. [계산] 객관식

f(x)=2x+3일 때 f(4)는?

선택지 11 7 8 14
6. [계산] 객관식

f(x)=3x+1일 때 f(5)는?

선택지 8 16 15 18
7. [계산] 객관식

y=4x+2에서 x=0일 때 y는?

선택지 0 4 2 6
8. [계산] 객관식

y=4x+2의 기울기는?

선택지 2 0 6 4
9. [계산] 객관식

x가 2에서 5로, y가 7에서 16으로 변했다. 기울기는?

선택지 3 2 4 9
10. [계산] 객관식

x가 1에서 3으로, y가 10에서 18로 변했다. 평균 변화율은?

선택지 2 4 6 8
11. [계산] 객관식

한 시간마다 세균 수가 2배가 된다. 1에서 시작해 3시간 뒤 수는?

선택지 3 6 8 9
12. [계산] 객관식

한 시간마다 3개씩 일정하게 증가한다. 처음 5개면 4시간 뒤는?

선택지 12 15 20 17
13. [계산] 객관식

f(x)=x²일 때 f(3)는?

선택지 9 6 12 27
14. [계산] 객관식

f(x)=10-x일 때 f(4)는?

선택지 4 6 10 14
15. [계산] 객관식

y=2x+1에서 x가 2에서 3으로 늘 때 y 증가량은?

선택지 1 3 2 5
16. [계산] 객관식

x가 0,1,2일 때 y가 1,3,5라면 선형 관계의 기울기는?

선택지 1 3 4 2
17. [계산] 객관식

f(x)=5일 때 x가 1에서 10으로 바뀌어도 출력은?

선택지 5 1 10 15
18. [계산] 객관식

약물 농도 x와 반응 y가 y=100-10x라면 x=3에서 y는?

선택지 30 70 90 100
19. [쉬움] 객관식

함수 f(x) = 3x + 2에서 f(5)는?

선택지 17 10 15 7
20. [보통] 객관식

x가 2에서 6으로 변할 때 y가 5에서 21로 변했다. 평균 기울기는?

선택지 2 4 8 16
21. [쉬움] 객관식

약물 농도 x와 반응 y가 y = 10x일 때 x가 0.5이면 y는?

선택지 0.5 10 5 20
22. [보통] 객관식

시간이 1, 2, 3일 때 세포 수가 2, 4, 8로 변한다. 가장 가까운 관계는?

선택지 선형 감소 항상 일정 로그 감소 지수적 증가
23. [보통] 객관식

그래프에서 x축이 시간, y축이 발현량이고 기울기가 음수라면 가장 적절한 해석은?

선택지 시간이 지날수록 발현량이 감소한다. 시간이 지날수록 발현량이 반드시 2배가 된다. 발현량은 시간과 무관하다. x축과 y축을 읽을 수 없다.
24. [보통] 객관식

두 점 (1, 4), (3, 10)을 지나는 직선의 기울기는?

선택지 2 3 6 14
25. [보통] 객관식

시그모이드 함수가 약물 농도-반응 그래프에 자주 어울리는 이유로 적절한 것은?

선택지 항상 직선으로만 증가하기 때문이다. 모든 x에서 값이 음수이기 때문이다. 낮은 농도에서는 반응이 작고 중간 구간에서 급격히 변한 뒤 포화될 수 있기 때문이다. 입력과 출력이 서로 바뀌기 때문이다.
26. [보통] 객관식

y = 2x + 1에서 x가 1에서 4로 증가하면 y는 몇 만큼 증가하는가?

선택지 3 4 8 6
27. [쉬움] 객관식

함수 f(x)=2x+1에서 f(3)은?

선택지 5 7 6 8
28. [보통] 객관식

그래프의 x축이 약물 농도, y축이 유전자 발현량일 때 기울기가 크다는 뜻은?

선택지 발현량이 항상 0이다. 농도가 감소할수록 반드시 발현량이 증가한다. 농도 변화에 발현량이 크게 반응한다. 두 축이 같은 단위라는 뜻이다.
29. [보통] 객관식

비선형 반응의 예로 가장 적절한 것은?

선택지 x가 1 늘 때마다 y가 항상 정확히 2씩 증가한다. 모든 점이 하나의 수평선에 있다. x축과 y축 이름이 같은 그래프다. 낮은 농도에서는 변화가 작다가 중간 농도에서 급격히 증가하고 이후 포화된다.
30. [쉬움] 객관식

그래프 해석에서 가장 먼저 확인해야 할 정보는?

선택지 축의 의미, 단위, 스케일 선의 색깔만 논문 저자의 소속만 파일 이름만
31. [어려움] 객관식

log 스케일 y축 그래프를 raw count 그래프처럼 읽으면 생기는 문제는?

선택지 모든 값이 자동으로 음수가 된다. 차이가 실제보다 작거나 크게 오해될 수 있다. x축 정보가 사라진다. 샘플 수가 반드시 두 배가 된다.
주관식 32. [보통] 주관식 · Gemini 채점

함수를 자판기 비유로 설명하라.
주관식 33. [보통] 주관식 · Gemini 채점

선형함수에서 기울기가 크다는 말의 의미를 설명하라.
주관식 34. [보통] 주관식 · Gemini 채점

지수함수와 선형함수의 차이를 설명하라.
주관식 35. [보통] 주관식 · Gemini 채점

생물정보학에서 함수와 그래프가 필요한 이유를 설명하라.
주관식 36. [보통] 주관식 · Gemini 채점

그래프를 해석할 때 x축, y축, 기울기를 차례로 확인해야 하는 이유를 설명하라.
주관식 37. [보통] 주관식 · Gemini 채점

약물 농도-반응 관계에서 시그모이드 그래프가 자연스러운 이유를 설명하라.
주관식 38. [보통] 주관식 · Gemini 채점

f(x)=4x-2에 대해 x=0,1,2일 때의 값을 표로 쓰고, 그래프가 어떤 방향으로 움직일지 설명하라.
주관식 39. [보통] 주관식 · Gemini 채점

발현량 그래프를 해석할 때 축과 스케일을 먼저 확인해야 하는 이유를 설명하라.